Aquest article explorarà què és base ortonormal d'una matriu i com trobar-los a MATLAB mitjançant el orth() funció.
Quines són les bases ortonormals d'una matriu
En àlgebra lineal, el base ortonormal d'un espai vectorial V amb una dimensió finita són la base que té vectors ortonormals ón el vectors ortonormals són els vectors unitaris que són ortogonals entre si és que el seu producte escalat és zero.
Considereu els vectors de dues unitats x i y, seran ortogonals entre si si “x.y=0” . Aquests dos vectors també s'anomenen vectors ortonormals .
Per què hem de calcular la base ortonormal
Una base ortonormal és útil per trobar la projecció d'un vector sobre un altre vector o per trobar la distància entre els dos vectors. També podem utilitzar un base ortonormal per reduir l'error d'arrodoniment a les nostres simulacions i l'única raó d'això és que els vectors en una base ortonormal són independents entre si, per tant, un error en un vector no es pot propagar a altres vectors. A més, trobar coordenades i realitzar transformacions lineals és molt més fàcil si la nostra base és ortonormal.
Com trobar la base ortonormal d'una matriu a MATLAB?
A MATLAB, podem trobar el base ortonormal utilitzant el integrat orth() funció que s'encarrega de determinar la base ortonormal d'una matriu determinada. Aquesta funció accepta una matriu com a paràmetre obligatori i proporciona una matriu com a sortida que conté base ortonormal de la matriu d'entrada donada.
Sintaxi
El orth() La funció es pot implementar a MATLAB mitjançant les sintaxis següents:
Q = orth ( A, tol )
Aquí,
- La funció Q = orth(A) s'encarrega de determinar la base ortonormal per al rang de A on les columnes de la matriu de sortida Q representen el base ortonormal de la matriu A i envien correu brossa al rang de la matriu A. A més, el rang de A és igual al recompte de columnes de Q.
- La funció Q = orth(A,tol) s'encarrega de determinar la base ortonormal per al rang de A especificant la tolerància. Els valors singulars de la matriu d'entrada A, que són inferiors a la tolerància, es tracten com a zero en afectar el nombre de columnes de Q.
Exemple 1: Com trobar la base ortonormal d'una matriu de rang complet a MATLAB?
Aquest codi MATLAB determina el base ortonormal de la matriu quadrada donada A amb mida n=3 utilitzant el orth() funció. Aquest codi també troba el rang d'una matriu A utilitzant el rang () funció per verificar que la matriu d'entrada és de rang complet.
A = [ 1 0 -1 ; 1 2 0 ; 0 1 - 3 ] ;r = rang ( A )
Q = orth ( A )
Exemple 2: Com calcular la base ortonormal d'una matriu deficient de rang a MATLAB?
En aquest exemple, fem servir el orth() funció per trobar el base ortonormal de la matriu deficient de rang donada A. La matriu A és deficient de rang perquè rang (K)
r = rang ( A )
Q = orth ( A )
Exemple 3: Com trobar la base ortonormal d'una matriu de rang complet especificant la tolerància a MATLAB?
L'exemple donat calcula el base ortonormal de la matriu quadrada de rang complet donada A amb mida n=3 utilitzant el orth() funció amb tolerància per defecte. Com que A és una matriu de rang complet, la mida d'A i Q (base ortogonal) és el mateix, que és 3×3 en aquest cas. A continuació, l'exemple calcula el base ortonormal d'A especificant el valor de tolerància 0,5 per considerar els valors de A inferiors a 0,5 com a valors singulars. Hi ha tres valors singulars a A, de manera que A té dos vectors columna ortonormals continguts per Qtol matriu.
A = rand ( 3 ) ;r = rang ( A )
Q = orth ( A )
Q_tol = orth ( A, 0.5 )
Conclusió
Trobant el base ortonormal d'un espai vectorial és un concepte important d'àlgebra lineal que és un problema matemàtic complicat. Tanmateix, es pot resoldre de manera fàcil i eficient mitjançant l'ús de MATLAB integrat orth() funció. Aquest article ha presentat la implementació d'aquesta funció utilitzant diferents sintaxis i exemples.